Quiz di logica commentato

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Quiz di logica commentato. Note e commenti sul test di logica N° 6

 

Quiz di logica commentato. Un lettore intelligente e attento, Pierpaolo, ci ha inviato alcune interessanti note sul test di logica N° 6.
In questa pagina le riportiamo integralmente. Con la risposta della redazione.Vuoi partecipare al dibattito?

 

Quiz di logica commentato. La domanda.

Scrivo per segnalare, a mio avviso, due errori nel quiz di logica numero 6. Credo che ci siano errori di testo per gli ultimi due esercizi affrontati, cioè quelli delle palle.
In particolar modo faccio riferimento alla domanda 10.II.

Nel secondo mondo, una norma stabilisce che le palle sono costituite da tutti i punti che distano meno di 1 da un punto prefissato. Con riferimento alle lettere presenti sull’immagine ingrandita, che forma ha una palla in questo mondo?

La risposta esatta mi dice che è la due cioè la sfera, ma a mio avviso nessuna delle risposte indicate è corretta per come è posta la domanda, dato che c’è l’esclusione “meno di 1” ciò significa dire che preso un punto generico di coordinate (0,0) tutti i punti distano dagli altri 1 e non meno di 1, sono equidistanti per definizione di circonferenza. Quindi escludendo l’opzione B ed escludendo le opzioni A e D perchè per lo stesso ragionamento si arriva ad un assurdo, l’unica opzione plausibile sarebbe la A dato che i punti distano dal centro meno di 1 (come scritto nella traccia) ma a sua volta si contraddice perchè il vertice massimo nella figura rombo è proprio 1 quindi per correttezza logica anche la A è da escludere.
Mi riferisco inoltre alla domanda 10.III.

Nel terzo mondo, una norma stabilisce che le palle sono costituite da tutti i punti tali che la più grande delle due coordinate, prese in valore assoluto, sia minore o uguale di 1. Con riferimento alla solita immagine, che forma ha una palla in questo mondo?

La risposta corretta mi dice che è la 1, cioè il quadrato, ma come esplicitato nella domanda questo è impossibile perchè mi dice chiaramente che la più grande delle sue coordinate presa in v. ass. deve essere minore o uguale di 1, nel momento in cui vado a prendere sul quadrato il punto (1,1),(1,-1),(-1;-1),(1,-1) non esiste , come scritto nella traccia, la coordinata |x| strettamente maggiore di |y| o viceversa, quindi la risposta è certamente sbagliata, mentre risulta vera la risposta C ossia il rombo, dove vale la proprietà |x|<|y| oppure |x|>|y| che a sua volta è minore o uguale di 1.
Spero di essere stato il più chiaro possibile, nel caso in cui i miei ragionamenti fossero sbagliati vi prego gentilmente di scusarmi.

Pierpaolo.

 

Quiz di logica commentato. La risposta.

 

Quella che segue è la risposta della Redazione

 

Gentile Pierpaolo,
la ringraziamo molto per averci scritto! La sua domanda denota un’analisi ed una comprensione ineccepibili del quesito. Abbiamo fatto rileggere il testo al nostro redattore, che ammette di aver commesso un paio di imprecisioni (talvolta inevitabili, non volendo esagerare col rigore matematico nel testo delle domande).

Procediamo con ordine.

Innanzitutto ci pare di capire che non ci siano dubbi sul fatto che la riposta al quesito 10.1 sia C, ossia quello che lei chiama “quasi” correttamente “rombo”. Il quasi è di dovere: un rombo ha la proprietà di avere 4 lati congruenti, ma la figura C ha qualcosa in più: ha anche 4 angoli retti, e quindi è un rombo particolare: un quadrato. Non si faccia ingannare dal fatto che è “ruotato” rispetto alla rappresentazione usuale di quadrato! In ogni caso si tratta solo di una questione di termini.

Passiamo al quesito 10.2, nel quale è presente il principale errore, che lei ha colto perfettamente. Di nuovo, tuttavia, la questione è delicata: si fa riferimento ad un concetto fondamentale in matematica, ossia quello di insieme “aperto”. Le proponiamo il seguente esempio: rifletta sull’insieme costituito da tutti e soli i numeri reali compresi tra -1 ed 1, estremi INCLUSI (insieme che indicheremo con [-1,1] ) e sull’insieme costituito da tutti e soli i numeri reali compresi tra -1 ed 1, estremi ESCLUSI (insieme che indicheremo con (-1,1) ). Il primo, [-1,1], è detto insieme “chiuso”; il secondo, (-1,1), è detto insieme “aperto”. Questi due insiemi differiscono solo per il fatto che “uno ha il bordo e l’altro no”. In altre parole, si immagini di camminare lungo la retta dei numeri, dallo 0 verso l’1, facendo piccoli passi, e senza mai uscire dall’insieme. Man mano che si avvicina ad 1, nel caso dell’insieme aperto non potrà mai compiere un passo che la faccia rimanere nell’insieme e che possa essere chiamato “l’ultimo passo”: per quanto si avvicini ad 1, senza toccarlo, potrà sempre fare un altro passo, eventualmente molto piccolo, che la faccia rimenere all’interno dell’insieme. Trovandosi a 0.9, basterà fare un passo, ad esempio, lungo 0.05; trovandosi a 0.95, basterà fare un passo, ad esempio, lungo 0.005; e via dicendo. Di nuovo, un insieme aperto non ha un confine. Al contrario, nel caso dell’insieme [-1,1], un passo da 0.9 e lungo 0.1 sarebbe consentito, in quanto 1 appartiene per definizione all’insieme chiuso, ma fatidico: a quel punto, qualsiasi passo la farebbe inesorabilmente uscire dall’insieme! Un insieme chiuso ha un confine.

Questa digressione potrà apparirle fuori luogo, ma i due insiemi sopra citati non sono altro che “sfere in una dimensione”, ossia insiemi di punti che distano “meno di 1, 1 escluso” (nel caso dell’insieme aperto) oppure “meno di 1, 1 incluso” (nel caso dell’insieme chiuso) dal punto zero. La generalizzazione al caso di interesse per il nostro quesito, ossia al caso bidimensionale, è immediata: l’insieme dei punti che distano “meno di 1, 1 escluso” dall’origine (0,0) è un disco aperto, senza bordo; l’insieme dei punti che distano “meno di 1, uno incluso” dall’origine (0,0) è un disco chiuso, col bordo. Per come è posto il quesito, la risposta corretta sarebbe “disco aperto”, che usualmente viene disegnato come un disco col bordo tratteggiato; mentra la figura B non ha il bordo tratteggiato, e quindi convenzionalmente rappresenta un disco chiuso.

In conclusione, il quesito è posto, come lei suggerisce, in maniera errata, e può essere corretto in due modi:

1. riformulando la domanda nei termini seguenti: “Nel secondo mondo, una norma stabilisce che le palle siano costituite da tutti i punti che distino meno di 1 oppure 1 da un punto prefissato”; oppure:
2. lasciando invariato il quesito, e tratteggiando il bordo della figura B.

Procederemo con la prima opzione, in quanto le nozioni di insieme aperto e di bordo “tratteggiato” richiedono qualche conoscenza specifica!

Passiamo, infine, al punto 10.3: innanzitutto la risposta C, il “rombo” (che come abbiamo visto, è in realtà un quadrato), non è corretta: il quesito dice che le palle sono costituite da TUTTI i punti tali che la più grande delle coordinate, presa in valore assoluto, sia minore o uguale a 1. La figura C è costituita da SOLI punti che rispettano questa proprietà, non da tutti! La sottigliezza in questo caso sta nei concetti di “necessario” e “sufficiente”. Ad esempio, seconda questa regole, una palla (per essere chiamata tale) DEVE contenere il punto (0.8,0.9), che evidentemente non appartiene alla figura C.

Capiamo l’origine dell’ambiguità, ma ribadiamo il fatto che, in questo caso, A è la risposta corretta. Si consideri ad esempio il punto (1,-1), appartenente al quadrato A. L’insieme da considerare, da cui scegliere l’elemento più grande, è un insieme costituito da un solo elemento: 1. Ora, è lapalissiano che in un insieme costituito da un unico elemento, questo elemento debba essere il più grande dell’insieme (ma allo stesso tempo il più piccolo!). Si pensi a due genitori con un solo figlio: egli sarà allo stesso tempo il maggiore ed il minore. In altre parole, dato un punto, prima si considera il valore assoluto delle coordinate, poi si sceglie la maggiore delle due (se ne resta solo una, nessun problema). Se si cerca di scegliere la coordinata maggiore prima di considerare il valore assoluto si incappa nei problemi da lei sollevati.

Per essere completamente priva di ambiguità, la domanda dovrebbe recitare: […] le palle sono costituite da tutti i punti tali che, considerando l’insieme costituito dai valori assoluti delle coordinate, il massimo di questo insieme sia minore o uguale a 1.

Risulta utile chiarire brevemente (rimandando al web o a un qualsiasi testo di Analisi 1 per ogni dettaglio) la definizione di “massimo” di un insieme: dato un insieme, un suo maggiorante (se esiste) è un qualsiasi numero maggiore o uguale di tutti gli elementi dell’insieme; il suo estremo superiore (se esiste) è il più piccolo maggiorante; se l’estremo superiore esiste ed appartiene all’insieme, prende il nome di “massimo”. Ad esempio, preso l’insieme aperto sopracitato (-1,1), allora  1.1 , 1.2 , 1.5 , 2 , 3 , 4 , 5 , …. sono tutti maggioranti; il più piccolo maggiorante, quindi estremo superiore, è 1, ma non è il massimo perché non appartiene all’insieme. Analogamente 1 è massimo dell’insieme [-1,1]. L’insieme {1} (le parentesi graffe indicano una collezione di elementi) è costituito da un solo elemento, che è per definizione maggiorante (è maggiore o uguale, in particolare uguale, a tutti gli elementi dell’insieme, ossia a sè stesso); è estremo superiore (non esiste un maggiorante più piccolo) ed appartiene all’insieme: quindi il solitario abitante di questo insieme ne è anche il massimo.

 

Una nota finale.

Potrebbe interessarle il fatto che le 4 figure, “topologicamente parlando”, siano equivalenti: in un certo senso (che acquista carattere di formalità nell’ambito di una branca della matematica detta “topologia generale”) possono essere deformate le une nelle altre, per mezzo di rotazioni e dilatazioni ma senza “strappi”. Intuitivamente, una ciambella non è equivalente alle 4 figure, poiché ha un buco. Uno spazio “topologico” è uno spazio matematico molto generale, e la differenza tra le 4 figure, su cui si basa il quesito, ha senso solo nell’ambito di uno spazio più specifico, dotato di ulteriori proprietà: ad esempio, e senza entrare nei dettagli, è necessario introdurre i concetti di “distanza” tra due punti (molto meno banale di quel che possa sembrare!) e di “sistema di riferimento”. Se le interessa approfonidire la questione le suggerisco di cercare sul web le parole chiave racchiuse tra virgolette.

Sperando di aver chiarito i suoi dubbi, restiamo a disposizione per ulteriori domande! Ringraziandola ancora per il prezioso e attento contributo, le porgiamo i più distinti saluti.

Davide.

 

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